Maintenant que le programme de calcul est prêt, testons la méthode. Un cas simple : j'ai fait un pointage au bord de l'Océan près du phare de Terre Nègre.

J'ai fait deux relevés au sextant : un à la méridienne, c'est à dire au moment où le soleil est au sud, au plus haut dans le ciel et l'autre un peu avant 16h TU. La méthode de Marcq de St-Hilaire nous invite à choisir un point arbitraire (souvent une position proche de celle où on estime que le bateau se trouve…), puis par calcul (programme ou tables…) on trouve la direction et la distance de l'intercept, c'est à dire le grand cercle sur la Terre où l'on voit le soleil à le même hauteur que la mesure faite au sextant. Ce grand cercle au niveau local se résume à une droite : la droite de hauteur.

Deux mesures tracent donc deux droites de hauteur : et donc le bateau se trouve à l'intersection des deux droites : ici la plage de Foncillon, c'est à dire à 3,5 milles marins du point vrai, ce qui est, compte tenu que la mesure à été faite par un sextant en plastique, tout à fait satisfaisant.

Pour tracer deux droites, on peut se servir de deux astres (Soleil + Lune, Deux étoiles, planètes et étoiles…) relevés l'un après l'autre (dans ce cas le déplacement du bateau est négligeable) ou un astre (en fait le Soleil) pris à deux moments différents (comme ici) mais dans ce cas, bien penser à tenir compte du déplacement du bateau, en « transportant » la première droite selon ce déplacement.

Pour faire le point astronomique, il faut relever deux paramètres : la hauteur instrumentale de l'astre mesurée au sextant, et l'heure TU exacte de ce relevé. Sextant et chronomètre sont les deux instruments indispensables à la mesure.

Le sextant va nous donner la hauteur instrumentale de l'astre : Hi. Elle va subir différentes corrections afin d'obtenir la hauteur vraie de l'astre :

• La collimation : qui tient compte du fait que le zéro relevé par le sextant est parfois décalé.
• La hauteur de l’œil (h) : qui créé une dépression de l'horizon d'une valeur (exprimée en degrés) de 1.77√h/60
• La diffraction atmosphérique qui peut (si l'astre est assez haut) être approchée par la formule
  (60,08 x cotan(hc)-0,07*cotan³(hc))/3600  
• La correction de parallaxe, qui donne une correction du fait que l'observateur n'est pas au centre de la Terre, mais à sa surface. Elle vaut 8,8 x cos (h)/3600
• La correction de bord inférieur ou supérieur (pour la Lune et les étoiles) qui prend et compte qu'un pointage  au sextant pour un astre non ponctuel est plus simple à faire avec le bord inférieur (ou supérieur) qu'avec le centre. Il vaut ½ du diamètre de l'astre (30' pour le Soleil et la Lune
  

Le chronomètre va nous donner la position du pied d'Astre, c'est à dire la projection sur le globe terrestre de l'astre. Pour le cas du Soleil, le pied d'Astre correspond à l'endroit sur Terre où le soleil est exactement à la verticale de l'observateur.

• La déclinaison de l'astre (latitude du pied d'astre) est calculée ainsi :
  0,006918-0,399912*COS(γ)+0,070257*SIN(γ)-0,006758*COS(2γ)+0,000907*SIN(2γ)-0,002697*COS(3γ)+0,00148*SIN(3γ). Étant exprimée en radians, il faut la convertir en degrés.
• On pose γ = (2π x NbjourAn x heureTU/24)/365
  
• Soit NbjourAn = le nombre de jour écoulé depuis le 1er janvier de l'année courante,
• Avec la formule de Spencer, on peut retrouver la déclinaison du soleil (latitude du pied d'astre):
• Pour la longitude du pied de soleil, on la calcule d'abord pour minuit pour Greenwich (elle n'est pas égale à 180° à cause de l'équation du temps). C'est AvHo
  • On pose t, la distance entre la date et l'heure du relevé et le 1er janvier 2000
  • excentricité c'est 0,016708617-0,000042037*t-0,0000001236*t²
  • obliquité : 23,439291111-0,013004166*t-0,000000163*t²+0,000000503*t³
  • anomalie moyenne 357,529101+35999,0502962*t-0,00015594*t²-0,00000048*t³ modulo 360°
  • longitude moyenne 280,466449+36000,7698231*t+0,00030368*t²+0,000000021*t³ modulo 360°
  • q = tan²(obliquité/2)
  • équation du temps (en radians, donc à convertir ensuite en degrés)
    q*SIN(2*longitude moyenne) -2*excentricité*SIN(anomalie moyenne) + 4*excentricité*q*SIN(anomalie moyenne)*COS(2*longitude moyenne)) -0,5*q²*SIN(4*longitude moyenne)) -1,25*(excentricité)²*SIN(2*anomalie moyenne)
  • AvHo est égale à 180-(équation du temps*0,25)
  • Puis pour retrouver la longitude du pied d'astre à l'heure du relevé, on décale AvHo de 1° toutes les 4 minutes.

• Reste ensuite à trouver l'intercept et l'angle (Zv) par rapport à un point arbitrairement choisi :
  • Puis pour retrouver la longitude du pied d'astre à l'heure du relevé, on décale AvHo de 1° toutes les 4 minutes.

Le XXè siècle offre à nouveau une révolution dans le point en mer. Tout d'abord avec la mise en place de l'heure GMT (heure solaire moyenne à Greenwich, c'est à dire l'heure solaire vraie corrigée de l'équation du temps qui prend en compte que la Terre tourne autour du Soleil en suivant une ellipse et non un cercle). Avec l'invention des horloges atomiques de plus en plus précises, on s'affranchit de l'astronomie pour définir le temps (un peu comme Harrisson en son temps) car la Terre subit de légères variation d'orbite qui sont au dessus de l'ordre de précision souhaité. Le temps atomique (TAi) régulièrement corrigé pour coller au mieux à la rotation terrestre s'impose en 1972 : c'est le temps UTC sur lequel se cale tous les pays du monde en y ajoutant une correction de fuseau horaire (en générale des heures entières).

Parallèlement, on abandonne le sextant pour des système de positionnnement par ondes électromagnétiques : la radionavigation d'abord avec le système Loran et ses antennes à terre, qui par triangulation peremettait une précision de 800 m. Puis le GNSS (positionnement par satellites) vers les années 2000, dont le GPS est l'un des représentants les plus connus. Avec ce système, le navire peut être positionné à quelques mètres près, voire quelques centimètres en fonction du récepteur utilisé. Avec une petite particularité, le méridien origine du GPS n'est pas celui de Greenwich, il est légèrement décalé…

À noter qu'en théorie, les marins professionnels sont sensés savoir faire le point au sextant en cas de panne du récepteur GNSS ou en cas de brouillage des ondes…

Le XIXè siècle est le siècle de la navigation par lieux géométriques. L'idée de départ est simple : si on connaît la hauteur d'un astre – mesurée grâce au sextant – et la position de son « pied », projection du soleil sur la sphère terrestre – mesurée grâce au chronomètre et aux tables astronomiques – on peux en déduire que le navire se situe quelque part sur un grand cercle dont le centre est le pied de l'astre  et le rayon est la hauteur de l'astre, convertie en milles. Tous les bateaux situés sur ce grand cercle voient cet astre sous le même angle. Il suffit de faire un autre relevé avec un deuxième astre, et donc d'obtenir un deuxième cercle afin de déterminer deux points, dont l'est la position réelle, l'autre étant manifestement trop loin si le suivi du navire a été fait correctement (souvent l'une des intersections se trouve dans l'hémisphère nord, l'autre dans l'hémisphère sud : il est facile d'éliminer l'une ou l'autre position). Mais encore faut-il avoir deux astres à disposition en même temps (Soleil + Lune, ou deux étoiles) et cela n'est pas toujours possible. On peut s'en sortir en faisant un deuxième pointage sur le même astre quelques heures plus tard, mais il faut suivre avec soin la dérive du bateau, qui permet de translater la première droite.

Pour éviter ces incertitudes, on va essayer de ruser en considérant tout d'abord que le cercle de position est tellement grand que son tracé sur une carte de marine, peut être confondue par une droite appelée droite de hauteur ou droite de Sumner (du nom du capitaine britannique qui s'en est aperçu empiriquement). À partir de cette découverte, l'Amiral français Marcq St-Hilaire propose de choisir un point estimé (idoinement pour simplifier les calculs) puis de déterminer le décalage de la droite de hauteur par rapport à ce point estimé. La position du bateau est à l'intersection de cette droite de hauteur et de la droite qui passe par le point estimé et le pied de l'astre (ces deux droites sont perpendiculaires, puisque rayon du grand cercle de hauteur). On a donc besoin que d'un seul relevé mais en revanche les relevés doivent être réguliers afin que le point estimé ne soit pas trop faux (ce qui finit par fausser les calculs). Cette méthode sera utilisée par les marins jusque dans les années 1990.

Pour que le relevé soit le plus précis possible, il faut encore améliorer les sextants et les chronomètres de Marine dont la production s'industrialise faisant par là même baisser les coûts.

Nous avons vu dans l'épisode précédent que la connaissance de l'heure du port de départ est une condition indispensable pour calculer la longitude du bateau. Alors que la marine commence à être équipée de chronomètres, se pose la question du contrôle et du la mise à l'heure de ces chronomètres. Vers 1820/1850, les observatoires de la marine (dont celui de Rochefort) mettent au point un système visuel sur lequel était braqué toutes les lunettes des capitaines dont les navires mouillaient au port. À une heure déterminée, ce système optique changeait et signalait ainsi l'heure exacte. En France, ces systèmes se sont perdus, mais en Angleterre, celui de Greenwich fonctionne toujours, c'est la « timeball », cette boule rouge qui 5 minutes avant 13h est remontée en haut du mat puis tombe à 13h pile. Avec l'invention de la communication par onde radio (Télégraphie Sans Fil – TSF) , l'heure peut être diffusée et reçue dans un rayon de plusieurs miliers de kilomètres. À Paris, l'utilisation de la Tour Eiffel en tant qu'émetteur du top horaire de midi et de minuit a sauvé la dame de fer d'une destruction décidée pourtant pour la fin de la concession de 20 ans, en 1909.

Développée en concurrence à la méthode des distances lunaires, la méthode chronométrique a pour principe de base de garder le temps du port de départ, mais de manière mécanique, cette fois-ci. La précision demandée (2 minutes sur 2 mois) était déjà atteignable avec les horloges sur terre parfaitement calées et stables, mais en mer, les mouvements du navire rendaient ces horloges inutilisables. John Harrison, un horloger anglais, intéressé par la récompense de 20000£, s'est employé à inventer un chronomètre de marine qui pourrait faire abstraction du roulis et du tangage. En 1730, il se met à la fabrication de son premier prototype, le H1, qui sera suivi de 3 autres, le dernier, le H4 mis au point en 1759 et testé en 1761 et à nouveau en 1765. La précision était supérieure à la commande (5 secondes au bout d'une traversée transatlantique), mais la commission, composée d'astronomes juges et parties qui voulaient favoriser la méthode des distances lunaires, n'a pas voulu remettre le prix. C'est le roi Georges III qui demandera au Parlement de récompenser ce modeste horloger.

Les quatre prototypes, oubliés jusqu'en 1920 dans les caves de l'observatoire de Greenwich, sont désormais exposées en bonne place (la photo ci-dessus prise lors de mon voyage à Londres l'année dernière) présente le H4. Une copie du H4 a servi à James Cook pour sa deuxième circumnavigation et après avoir utilisé la méthode des distances lunaires lors de sa première circumnavigation, il en a conclu à la supériorité de la méthode chronométrique.

Celle-ci a cependant mis du temps à s'imposer, car le prix d'un chronomètre de marine est resté longtemps prohibitif. Et pour être sûr de l'heure, il en fallait trois à bord… Ces gardes-temps ont commencé à être accessibles en terme de prix après les guerres napoléoniennes.

Après le naufrage de la flotte d'un Amiral anglais, le parlement britannique, en 1715, offre 20000£ de l'époque (soit près de 2 millions d'euros d'aujourd'hui) à celui qui trouvera une méthode pour déterminer la longitude avec une précision de ½ degrés, soit 30' d'arc. Autrement dit, pour remporter le prix, il faut être capable de garder le temps du port de départ avec une erreur de moins de 2 minutes pour un voyage transatlantique (qui durait deux mois environ à l'époque).

Deux méthodes furent en concurrence, la première celle des distances lunaires, a longtemps eu la préférence des astronomes de la commission chargée de remettre le prix car plus proche de leur culture. L'idée de départ est simple : « La Lune, sur le fond du ciel étoilé donne l'heure ».

Sur le montage photo ci-dessus, on peut voir la Lune (pas à l'échelle pour mieux voir sa phase) et Aldébaran, pris à 48h d’intervalle. On constate que la Lune est l'astre qui se déplace le plus vite dans le ciel, environ 9° en 24h soit 30' par heure. Si on mesure la distance de la Lune par rapport à une étoile, dont la position est connue (ici Aldébaran), on peut, après quelques calculs, retrouver l'heure.

Mais deux difficultés vont se poser.

• La première, c'est que la Lune est un astre proche de la Terre, au point qu'il faille tenir compte du phénomène de parallaxe. Quand vous regardez un objet proche avec seulement votre œil gauche, puis le droit, cet objet semble se déplacer légèrement. Il faut en tenir compte dans les calculs.
• La seconde, c'est la modélisation de la trajectoire de la Lune qui se révélera plus complexe que prévue. Subissant tour à tour l'influence de la Terre, du Soleil et du reste du système solaire, sa trajectoire est un problème à (au moins) trois corps dont on sait depuis Henri Poincaré (1890) que sa solution est très sensible aux conditions initiales (théorie du chaos). 

La précision demandée ne fut donc pas atteinte, et même si des navigateurs dont Lapérouse l'ont mise en œuvre (elle coûtait moins cher que la méthode chronométrique que nous verrons prochainement), les marins se méfiaient de la Lune et continuèrent donc pendant encore quelques dizaines d'années à voyager dans l'ignorance de leur longitude.

Si la détermination de la la latitude fut maîtrisée dès le XVIè siècle, le problème de la longitude fut bien plus ardu et long à résoudre. Avant l'apparition des techniques satellitaires (GPS) la seule manière de connaître la longitude, c'est de connaître l'heure du port de départ et le comparer à celui du bateau. Ainsi si sur le bateau, le soleil a une heure de retard par rapport à son passage au méridien du port, c'est que le navire est à 15° à l'ouest par rapport au port de départ (360°/24h). Des éphémérides mises au point par les astronomes permettent de connaître l'heure de passage au méridien du port, reste à trouver une horloge suffisamment précise pour retrouver l'heure du port depuis le navire et que les calculs de longitude soient les plus proches de la réalité que possibles. Le premier à penser avoir trouvé une technique, c'est Galilée, qui en braquant sa lunette astronomique sur Jupiter, se rend compte de l’existence de quatre lunes (Io, Europe, Ganymède et Callisto) dont le ballet autour de la planète est d'une régularité chronométrique. Ce matin, par exemple, alors que Mars est proche de Jupiter, on voit, à droite de Jupiter et dans cet ordre : Io, Ganymède et Callisto. Europe n'est pas visible car derrière la planète.

Avec l'établissement de tables des éclipses de ces satellites (dit « galiléens »), un astronome, Philippe de la Hire, dresse en 1693 une carte du royaume de France : si en latitude, elle n'apporte pas grand'chose de nouveau par rapport aux anciennes cartes, il en est autrement pour la longitude. Ainsi, Brest, avant rectification, se trouvait 200 km trop à l'ouest et tous calculs faits, la surface du Royaume de France se trouve rétrécie de 5%.

Deux limitations à cette méthode :

• Jupiter n'est pas visible environ trois mois de l'année,
• Elle est inexploitable en mer car les mouvements du bateaux sur l'Océan rendent impossibles les observations à la lunette ou au télescope malgré la mise au point de chaises suspendues qui devaient isoler le marin-observateur.

D'autres événements astronomiques auraient pu servir de référence chronométrique : les éclipses de Lune, de soleil, les transits de Vénus (ceux de 1761 et 1769 ont été particulièrement suivis), de Mercure (bien que sa trajectoire ne fut bien modélisée qu'au XXè siècle) … mais bien sûr la rareté de ces phénomènes n'est pas adaptée au besoin constant de longitude des capitaines.

Une heure attendue par tous les capitaines de navire, c'était l'heure du passage du soleil au méridien. Le méridien, c'est la ligne qui passe par le zénith et le sud du lieu dans l'hémisphère nord (et par le nord dans l'hémisphère sud). C'est aussi le lieu où le soleil au cours de la journée, est le plus haut dans le ciel. Sur la photo ci-contre (composition de 40 clichés espacés de 5 minutes, soit un peu plus de 3h30), on voit que le soleil monte dans le ciel, se stabilise lorsqu'il s'approche du méridien, puis descend à nouveau après le passage du méridien.

On introduit la notion de « pied du soleil » (notion encore anachronique jusqu'au XIXè siècle) : c'est la projection du soleil sur le globe terrestre, autrement dit, le lieu sur la Terre où le soleil est au zénith, à un moment fixé. La latitude du « pied de soleil » (appelée déclinaison) change lentement mais constamment dans l'année, et on le connaît  grâce aux éphémérides que les astronomes ont pris soin de calculer. Sur cette photo, le pied du soleil lors du passage au méridien à Agen est à 0°38'E -  10°14'S (dans le Golfe de Guinée). La différence entre la hauteur du soleil au dessus de l'horizon (+35°32' que l'on peut mesurer avec un instrument) et la déclinaison du soleil (-10°14') donne la colatitude du lieu (ici 45°48'), d'où on déduit la latitude (90°-colatitude) soit 44°12'.

Il est de bien entendu que plus la mesure de la hauteur du soleil est précise, plus la mesure de la latitude l'est. Si le bâton de Jacob a longtemps servi en mer, l'invention de l'octant puis du sextant (qui ne sont rien d'autres que des rapporteurs d'angles très précis) a permis d'améliorer la précision de la mesure. L'avantage de ces deux derniers outils, c'est la possibilité de visualiser en même temps l'horizon et l'objet dont on veut mesurer l'angle.

Bien entendu, le sextant seul ne suffit pas, il faut aussi les éphémérides à bord pour pouvoir connaître la valeur de la déclinaison du soleil jour après jour (et même heure après heure pour plus de précision, surtout en ces périodes d'équinoxe, où le pied de soleil bouge plus vite que lors des périodes de solstice).

À noter que de la même manière, on peut faire des méridiennes de Lune (mais nous verrons plus tard que la trajectoire de la Lune est plus compliquée à calculer), de planètes et d'étoiles, mais ça reste rare en pratique car la difficulté, c'est de voir l'objet ET l'horizon en même temps (on ne peut donc faire les mesures qu'au crépuscule, ou lors d'une nuit de pleine Lune).

Parmi les techniques et outils dont disposaient les marins du XVè siècle – essentiellement portugais et espagnols – pour se positionner sur l'Océan, il y avait bien sûr la boussole importée de Chine via le monde islamique au siècle précédent mais aussi l'Étoile Polaire dont la hauteur au-dessus de l'horizon donne une valeur approchée de la latitude.  En effet, l'axe de rotation de la Terre pointe approximativement vers cette étoile. Sur la photo ci-contre, composition de prises de vue équivalente à une pose de 40 minutes, on voit une étoile presque fixe autour de laquelle les autres étoiles semblent tourner. C'est la Polaire, qui se trouve à  environ 44° au dessus de l'horizon. On en déduit donc la latitude du lieu : 44°N.

Actuellement, la distance entre l'étoile polaire et l'axe du monde (et donc l'erreur maximale dans le calcul de la latitude) est faible, de l'ordre de 40' (on voit d'ailleurs que notre étoile tourne tout de même un peu sur l'image…). Avec le phénomène de précession des équinoxes, cet axe évolue lentement dans le temps. Actuellement, il se rapproche de la Polaire, jusqu'en 2100, où il sera de 30' avant de grandir à nouveau ensuite. En 1492, il était de 3°½, il fallait donc appliquer une correction à cette mesure de hauteur de la Polaire (on s'aidait pour cela d'une autre étoile de la Grande Ourse, Mizar : en effet, l'axe Mizar-Polaire passe par le pole nord céleste et en fonction de la situation de Mizar, on applique une correction plus ou moins grande (plein est ou plein ouest par rapport à la Polaire, pas de correction, au nord ou au sud, correction maximale en + ou en - , et tous les dégradés aux positions intermédiaires).

Plus on navigue vers le sud, plus la Polaire est basse sur l'horizon, et elle finit par ne plus être visible quand le navire approche de l'équateur  (franchi pour la première fois en 1471). Il faut trouver une autre étoile pour l'hémisphère sud, mais hélas, la candidate (σ de l'Octant) n 'est pas très brillante.  On utilise alors une autre technique : la constellation de la Croix du Sud, dont la grande branche – constituée des étoiles Acrux et Gacrux – est dirigée vers le pôle sud céleste. À 4.5 fois la distance Acrux-Gacrux, on trouve un point pas trop loin du pole sud céleste, et on peut donc estimer les latitudes sud, avec il est vrai une moins bonne précision que les latitudes nord. En 1488, on franchit pour la première fois le Cap de Bonne Espérance à 34° de latitude sud.